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Chap1 集合
什么叫两个集合对等
若$A,B$是非空集合，且存在双射$\phi:A\rightarrow B$，称$A$与$B$对等，记为$A\sim B$，规定$\varnothing \sim \varnothing$.
简述 Bernstein 定理
设$A,B$是两个非空集合，如果$A$对等于$B$的一个子集，$B$又对等于$A$的一个子集，那么$A$对等于$B$.
Chap2 点集
简单描述 Cantor 集的构造过程
- 将$[0,1]$三等分，去掉中间的开区间$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$,将剩下的两个区间$[0,\frac{1}{3},]$和$[\frac{2}{3},1]$，记为$E_1$
- 再把这两个闭区间三等分，去掉中间的开区间$(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$和$(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$，剩下$2^2$个区间，记为$E_2$
- $\dots$
- 当进行到第$n$次时，得到$2^n$个长度为$3^{-n}$的互不相交的区间，去掉了$2^{n-1}$个区间，记这$2^n$个区间为$E_n$
- 如此进行下去，就从$[0,1]$中去掉了可数多个无公共端点的开区间，余下的区间称为 Cantor 三分集
Chap3 测度论
给出外测度的定义
$E\in \mathbb{R}^n,E$的外测度定义为
$$ m^{\star}(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|:\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i\supset E\} $$
其中 $I_i$ 是开区间
可测集的定义
设$E$为$\mathbb{R}^n$中点集，如果对任一点集$T$，都有
$$ m^{\star}(T)=m^{\star}(T\cap E)+m^{\star}(T\cap E^c) $$
则称$E$是$L$可测的，$E$称为可测集
Chap4 可测函数
给出可测函数的定义
设$f(x)$是定义在可测集$E\subset\mathbb{R}^n$上的实函数，如果对于任何有限实数$a$，$E[f>a]$都是可测集，则称$f(x)$为定义在$E 上的可测函数
简述 Luzin 定理
设$f(x)$是$E$上$a.e.$有限的可测函数，则对任意$\delta>0$，存在闭子集$F_\delta\subset E$，使$f(x)$在$F_\delta$上是连续函数，且$m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$
Luzin 定理的逆定理
设$f(x)$是可测集$E$上的函数，则对任意$\delta>0$，存在闭子集$F_\delta\subset E$，使$f(x)$在$F_\delta$上连续且$m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$，则$f(x)$在$E$上$a.e.$有限
Chap5 积分论
Lebegue 积分如何建立
用数学语言分步骤描述，一般可测函数的 Lebegue 积分是怎样通过简单分数的 Lebegue 积分、非负可测函数的 Lebegue 积分建立起来的
TODO
一般可测的 Lebegue 可积的定义
TODO
Levi 定理
设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集，$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数，当$x\subset E$时，对任一整数$n$有$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$，令$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)$，$x\in E$，则
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\int_Ef_n(x)dx=\int_Ef(x)dx $$
逐项积分定理
设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集，$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数，则 h
$$ \int_E(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x))dx = \sum_{i=1}^{\infty}\int_Ef_n(x)dx $$
Fatou 引理
设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集，$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数，则
$$ \int_E \varliminf_{n \to \infty}f_n(x)dx \le \varliminf_{n \to \infty}\int_Ef_n(x)dx $$
Lebegue 控制收敛定理
设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集，$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数，$F$是$E$上非负$L$可积函数，如果对于任意正整数$n$，$|f_n(x)|\le F(x)a.e.$于$E$，且$\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)a.e.$于 E，则
$$ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dx = 0 \\ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx=\int_Ef(x)dx $$
Riemann 可积的充要条件
设$f_n(x)$在$[a,b]$上有界，则$f(x)$在$[a,b]$上$R$可积的充要条件是$f(x)$在$[a,b]$上$a.e.$连续，即$f(x)$的不连续点全体成一零测度集。
$f(x)$的下方图形
设$f(x)$是$E\subset\mathbb{R}^n$上的非负函数，则$\mathbb{R}^{n+1}$中的点集$\{(x,z):x\in E, 0\le z \le f(x)\}$称为$f(x)$在$E$上的下方图形，记为$G(E,f)$
非负可测函数的几何意义定理
设$f(x)$是$E\subset\mathbb{R}^n$上的非负函数，则
$$ f(x)是 E 上可测函数充要条件是 G(E,f)是\mathbb{R}^n 上的非负函数) \\ 当 f(x)在 E 上可测时，\int_Ef(x)dx=mG(E,f) $$
Fubini 定理
设$f(P)=f(x,y)$在$A\times B \subset \mathbb{R}^{p+q}$上可积，则对$a.e.$的$x\in A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可测，且
$$ \int_{A\times B}f(P)dP = \int_Adx\int_Bf(x,y)dy $$
Chap6 微分与不定积分
单调递增函数的 Lebegue 定理的三个结论
设$f(x)$为$[a,b]$上的单调增函数，则
$$ 1.f(x)在$[a,b]$上几乎处处存在导数 f'(x) \\ 2.f'(x)在[a,b]上可积 \\ 3.如果 f(x)为增函数，有\int_a^{b}f'(x)dx \le f(b) - f(a) $$
$[a,b]$上有界变差函数的定义
设$f(x)$为$[a,b]$上的有限函数，如果对于$[a,b]$中的一切分划$T$，使
$$ \{\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\} $$
成一有界数集，则$f(x)$为$[a,b]$上的有界变差函数
有界变差函数的 Jordan 分解定理
在$[a,b]$上的任一有界变差函数$f(x)$都可以表示成两增函数之差
绝对连续函数的定义
设$F(x)$为$[a,b]$上的有限函数，如果对于任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使对$[a,b]$中互不相交的任意有限个开区间$(a_i,b_i) i=1,2,3\cdots,n$，只要
$$ \sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta $$
就有
$$ \sum_{i=1}^n|F(b_i)-F(a_i)|<\varepsilon $$
称$F(x)$为$[a,b]$上的绝对连续函数
