实变函数期末复习笔记

如有错误，敬请指正！

Chap1 集合

什么叫两个集合对等

若 $A,B$ 是非空集合，且存在双射 $\phi:A\rightarrow B$ ，称 $A$ 与 $B$ 对等，记为 $A\sim B$ ，规定 $\varnothing \sim \varnothing$ .

简述 Bernstein 定理

设 $A,B$ 是两个非空集合，如果 $A$ 对等于 $B$ 的一个子集， $B$ 又对等于 $A$ 的一个子集，那么 $A$ 对等于 $B$ .

Chap2 点集

简单描述 Cantor 集的构造过程

将 $[0,1]$ 三等分，去掉中间的开区间 $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ ,将剩下的两个区间 $[0,\frac{1}{3},]$ 和 $[\frac{2}{3},1]$ ，记为 $E_1$
再把这两个闭区间三等分，去掉中间的开区间 $(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$ 和 $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$ ，剩下 $2^2$ 个区间，记为 $E_2$
$\dots$
当进行到第 $n$ 次时，得到 $2^n$ 个长度为 $3^{-n}$ 的互不相交的区间，去掉了 $2^{n-1}$ 个区间，记这 $2^n$ 个区间为 $E_n$
如此进行下去，就从 $[0,1]$ 中去掉了可数多个无公共端点的开区间，余下的区间称为 Cantor 三分集

Chap3 测度论

给出外测度的定义

$E\in \mathbb{R}^n,E$ 的外测度定义为

m^{\star}(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|:\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i\supset E\}

其中 $I_i$ 是开区间

可测集的定义

设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中点集，如果对任一点集 $T$ ，都有

m^{\star}(T)=m^{\star}(T\cap E)+m^{\star}(T\cap E^c)

则称 $E$ 是 $L$ 可测的， $E$ 称为可测集

Chap4 可测函数

给出可测函数的定义

设 $f(x)$ 是定义在可测集 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的实函数，如果对于任何有限实数 $a$ ， $E[f>a]$ 都是可测集，则称 $f(x)$ 为定义在$E 上的可测函数

简述 Luzin 定理

设 $f(x)$ 是 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，则对任意 $\delta>0$ ，存在闭子集 $F_\delta\subset E$ ，使 $f(x)$ 在 $F_\delta$ 上是连续函数，且 $m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$

Luzin 定理的逆定理

设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的函数，则对任意 $\delta>0$ ，存在闭子集 $F_\delta\subset E$ ，使 $f(x)$ 在 $F_\delta$ 上连续且 $m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$ ，则 $f(x)$ 在 $E$ 上 $a.e.$ 有限

Chap5 积分论

Lebegue 积分如何建立

用数学语言分步骤描述，一般可测函数的 Lebegue 积分是怎样通过简单分数的 Lebegue 积分、非负可测函数的 Lebegue 积分建立起来的

TODO

一般可测的 Lebegue 可积的定义

TODO

Levi 定理

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 为可测集， $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 $E$ 上的一列非负可测函数，当 $x\subset E$ 时，对任一整数 $n$ 有 $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ ，令 $f(x)=\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)$ ， $x\in E$ ，则

\lim\limits_{n\to \infty}\int_Ef_n(x)dx=\int_Ef(x)dx

逐项积分定理

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 为可测集， $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 $E$ 上的一列非负可测函数，则 h

\int_E(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x))dx = \sum_{i=1}^{\infty}\int_Ef_n(x)dx

Fatou 引理

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 为可测集， $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 $E$ 上的一列非负可测函数，则

\int_E \varliminf_{n \to \infty}f_n(x)dx \le \varliminf_{n \to \infty}\int_Ef_n(x)dx

Lebegue 控制收敛定理

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 为可测集， $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 $E$ 上的一列非负可测函数， $F$ 是 $E$ 上非负 $L$ 可积函数，如果对于任意正整数 $n$ ， $|f_n(x)|\le F(x)a.e.$ 于 $E$ ，且 $\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)a.e.$ 于 E，则

\lim\limits_{n \to \infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dx = 0 \\ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx=\int_Ef(x)dx

Riemann 可积的充要条件

设 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $R$ 可积的充要条件是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $a.e.$ 连续，即 $f(x)$ 的不连续点全体成一零测度集。

$f(x)$ 的下方图形

设 $f(x)$ 是 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的非负函数，则 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的点集 $\{(x,z):x\in E, 0\le z \le f(x)\}$ 称为 $f(x)$ 在 $E$ 上的下方图形，记为 $G(E,f)$
非负可测函数的几何意义定理

设 $f(x)$ 是 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的非负函数，则
$f(x)是 E 上可测函数充要条件是 G(E,f)是\mathbb{R}^n 上的非负函数) \\ 当 f(x)在 E 上可测时，\int_Ef(x)dx=mG(E,f)$

Fubini 定理

设 $f(P)=f(x,y)$ 在 $A\times B \subset \mathbb{R}^{p+q}$ 上可积，则对 $a.e.$ 的 $x\in A$ ， $f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $B$ 上可测，且

\int_{A\times B}f(P)dP = \int_Adx\int_Bf(x,y)dy

Chap6 微分与不定积分

单调递增函数的 Lebegue 定理的三个结论

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的单调增函数，则

\begin{aligned} &1.\ f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 f'(x)\\ &2.\ f'(x)在[a,b]上可积\\ &3.\ 如果 f(x)为增函数，有\int_a^{b}f'(x)dx \le f(b) - f(a) \end{aligned}

$[a,b]$ 上有界变差函数的定义

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的有限函数，如果对于 $[a,b]$ 中的一切分划 $T$ ，使

\{\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\}

成一有界数集，则 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的有界变差函数

有界变差函数的 Jordan 分解定理

在 $[a,b]$ 上的任一有界变差函数 $f(x)$ 都可以表示成两增函数之差

绝对连续函数的定义

设 $F(x)$ 为 $[a,b]$ 上的有限函数，如果对于任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使对 $[a,b]$ 中互不相交的任意有限个开区间 $(a_i,b_i) i=1,2,3\cdots,n$ ，只要

\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta

就有

\sum_{i=1}^n|F(b_i)-F(a_i)|<\varepsilon

称 $F(x)$ 为 $[a,b]$ 上的绝对连续函数